Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{- 3}^{- 1} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{- 2} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{- 3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{- 3}^{- 1})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{- 3}^{- 1})$

Этап 8.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $- 1$ и в $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $- 1$ и в $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - 1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{- 3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.9

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{2}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.3.12

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 9})$

Этап 8.2.3.13

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{18})$

Этап 8.2.3.14

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{18})$

Этап 8.2.3.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.15.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{2 \cdot 9} + \frac{1}{18})$

Этап 8.2.3.15.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{18} + \frac{1}{18})$

Этап 8.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} - \frac{- 9 + 1}{18}$

Этап 8.2.3.17

Добавим $- 9$ и $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{- 8}{18}$

Этап 8.2.3.18

Сократим общий множитель $- 8$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 (- 4)}{18}$

Этап 8.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Этап 8.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Этап 8.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - \frac{- 4}{9}$

Этап 8.2.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} - - \frac{4}{9}$

Этап 8.2.3.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 1 (\frac{4}{9})$

Этап 8.2.3.21

Умножим $\frac{4}{9}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{4}{9}$

Этап 8.2.3.22

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{9}$

Этап 8.2.3.23

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.23.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9}$

Этап 8.2.3.23.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{4}{9}$

Этап 8.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 3 + 4}{9}$

Этап 8.2.3.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.25.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 + 4}{9}$

Этап 8.2.3.25.2

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{10}{9}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{10}{9}$

Десятичная форма:

$1.\overline{1}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{9}$

Этап 10