Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Этап 1.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (3 - x) - 5 (3 - x)}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 (3 - x)}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Этап 1.1.3.4

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x \cdot x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Этап 1.1.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Этап 1.1.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x^{1}) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Этап 1.1.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{1 + 1} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Этап 1.1.3.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Этап 1.1.3.9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.9.2.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 - 5 \cdot - 1 x}$

Этап 1.1.3.9.2.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 + 5 x}$

Этап 1.1.3.9.2.3

Изменим порядок $3 x$ и $- x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x - 15 + 5 x}$

Этап 1.1.3.9.2.4

Изменим порядок $- 15$ и $5 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x + 5 x - 15}$

Этап 1.1.3.9.2.5

Перенесем $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 3 x - 15}$

Этап 1.1.3.9.3

Добавим $5 x$ и $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 8 x - 15}$

Этап 1.1.3.10

Для многочлена, старший коэффициент которого отрицателен, предел в бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.1.3.11

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 5$ и $g (x) = 3 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [3 - x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $3 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [- x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- \frac{d}{d x} [x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.10

Перенесем $- 1$ влево от $x - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.11

Перепишем $- 1 (x - 5)$ в виде $- (x - 5)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.12

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 1.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 1.3.14

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + 0)}$

Этап 1.3.15

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \cdot 1}$

Этап 1.3.16

Умножим $3 - x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + 3 - x}$

Этап 1.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x - - 5 + 3 - x}$

Этап 1.3.17.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.17.2.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 5 + 3 - x}$

Этап 1.3.17.2.2

Добавим $5$ и $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 8 - x}$

Этап 1.3.17.2.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 2 x + 8}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ и $- 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{- 2 x + 8}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 8}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 2 (4)}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x + 4)}$

Этап 1.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 (- x + 4)}$

Этап 1.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{- x + 4}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 \cdot 1 + \frac{4}{x}}$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 + \frac{4}{x}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Этап 3.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 \cdot 0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 0}$

Этап 5.1.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 5.2

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$