Математический анализ Примеры

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.10

Объединим $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.11

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.12

Объединим $4$ и $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.13

Вынесем множитель $2$ из $4 y'$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

Этап 6

Решим относительно $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Этап 6.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Каждый член в $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ умножим на $y^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим каждый член $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ на $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Найдем общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2

Подставим $u$ вместо $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Этап 6.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Этап 6.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

Этап 6.3.3.1.2

Упростим.

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

Этап 6.3.3.2

Вычтем $2 y'$ из обеих частей уравнения.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

Этап 6.3.3.3

Вынесем множитель $u$ из $- y' u - 2 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Вынесем множитель $u$ из $- y' u$ .

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

Этап 6.3.3.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 2 u$ .

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

Этап 6.3.3.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u (- y') + u \cdot - 2$ .

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

Этап 6.3.3.4

Разделим каждый член $u (- y' - 2) = - 2 y'$ на $- y' - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.1

Разделим каждый член $u (- y' - 2) = - 2 y'$ на $- y' - 2$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Этап 6.3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- y' - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Этап 6.3.3.4.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Этап 6.3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Этап 6.3.3.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y'$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Этап 6.3.3.4.3.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

Этап 6.3.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- y' - 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

Этап 6.3.3.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.3.5.1

Перепишем $- (y' + 2)$ в виде $- 1 (y' + 2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

Этап 6.3.3.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

Этап 6.3.3.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

Этап 6.3.3.4.3.5.4

Умножим $\frac{2 y'}{y' + 2}$ на $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Этап 6.3.4

Подставим $y'$ вместо $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$