Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ в виде ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.5

Умножим $1 - x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.6

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.10.2

Умножим $1 + x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Умножим $1 + x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.12.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.12.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.12.4

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 9.12.5

Умножим $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.12.6

Перенесем $2$ влево от ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.12.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.12.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $\frac{1 - x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ на $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.2

Перенесем ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.3

Умножим ${(1 - x)}^{2}$ на ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Перенесем ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.3.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$