Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{h}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{h} lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{h} (2 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Этап 6

Найдем предел $h$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{3})$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0)$

Этап 10.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} + 0)$

Этап 10.3

Добавим $2 h^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3})$

Этап 10.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{h} h^{3}$

Этап 10.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{h}$ .

$\frac{2}{h} h^{3}$

Этап 10.6

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Этап 10.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Этап 10.6.3

Перепишем это выражение.

$2 h^{2}$