Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} (3 - 2 x + x^{2}) d x = 9$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{3} 3 - 2 x + x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} 3 d x + \int_{0}^{3} - 2 x d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 x]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 2 x d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$3 x]_{0}^{3} - 2 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{0}^{3} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x]_{0}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 x]_{0}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $3 x]_{0}^{3}$ и $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}$ .

$3 x + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $3 x + \frac{1}{3} x^{3}$ в $3$ и в $0$ .

$(3 \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$(3 \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$9 + \frac{1}{3} \cdot 27 - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$9 + \frac{27}{3} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$9 + \frac{3 \cdot 9}{3} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$9 + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$9 + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$9 + \frac{9}{1} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 + 9 - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Добавим $9$ и $9$ .

$18 - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Умножим $3$ на $0$ .

$18 - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$18 - (0 + 0) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Добавим $0$ и $0$ .

$18 - 0 - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$18 + 0 - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.11

Добавим $18$ и $0$ .

$18 - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 8.2.3.14

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 8.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.14.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - 0)$

Этап 8.2.3.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} + 0)$

Этап 8.2.3.16

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.17

Объединим $- 2$ и $\frac{9}{2}$ .

$18 + \frac{- 2 \cdot 9}{2}$

Этап 8.2.3.18

Умножим $- 2$ на $9$ .

$18 + \frac{- 18}{2}$

Этап 8.2.3.19

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$18 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Этап 8.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$18 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Этап 8.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$18 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$18 + \frac{- 9}{1}$

Этап 8.2.3.19.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$18 - 9$

Этап 8.2.3.20

Вычтем $9$ из $18$ .

$9$

Этап 9