Алгебра Примеры

$\frac{\csc^{2} (x)}{4} = 4 \sin^{2} (x)$

Этап 1

Каждый член в $\frac{\csc^{2} (x)}{4} = 4 \sin^{2} (x)$ умножим на $\frac{4}{\csc^{2} (x)}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим каждый член $\frac{\csc^{2} (x)}{4} = 4 \sin^{2} (x)$ на $\frac{4}{\csc^{2} (x)}$ .

$\frac{\csc^{2} (x)}{4} \cdot \frac{4}{\csc^{2} (x)} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{\csc^{2} (x) \cdot 4}{4 \csc^{2} (x)} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $\csc^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc^{2} (x) \cdot 4}{4 \csc^{2} (x)} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{4} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4} = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\csc^{2} (x)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Этап 1.3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 = 4 \sin^{2} (x) \frac{4}{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Этап 1.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 = 4 \sin^{2} (x) (4 \sin^{2} (x))$

Этап 1.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 4 \cdot 4 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 1.3.4

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$1 = 4 \cdot 4 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Этап 1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = 4 \cdot 4 {\sin (x)}^{2 + 2}$

Этап 1.3.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$1 = 4 \cdot 4 \sin^{4} (x)$

Этап 1.3.5

Умножим $4$ на $4$ .

$1 = 16 \sin^{4} (x)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $16 \sin^{4} (x) = 1$ .

$16 \sin^{4} (x) = 1$

Этап 3

Разделим каждый член $16 \sin^{4} (x) = 1$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $16 \sin^{4} (x) = 1$ на $16$ .

$\frac{16 \sin^{4} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sin^{4} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\sin^{4} (x)$ на $1$ .

$\sin^{4} (x) = \frac{1}{16}$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Этап 5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Этап 5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 8.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 8.4

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 8.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 9.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 9.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 9.4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 9.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 9.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 9.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 9.6.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 9.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 9.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{π}{6} + 2 π n$ и $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Объединим $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ и $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$