Алгебра Примеры

$\frac{1}{1 - \sqrt{5}} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$ на $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{5}} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$ на $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Этап 1.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Этап 1.4

Упростим.

$\frac{1 + \sqrt{5}}{- 4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{1 + \sqrt{5}}$ на $\frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ .

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$

Этап 1.7

Умножим $\frac{1}{1 + \sqrt{5}}$ на $\frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ .

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})}$

Этап 1.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 1.9

Упростим.

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{- 4}$

Этап 1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (1 + \sqrt{5}) - (1 - \sqrt{5})}{4}$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5})}{4}$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5})}{4}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 \cdot 1 - - \sqrt{5}}{4}$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 - - \sqrt{5}}{4}$

Этап 3.5

Умножим $- - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 + 1 \sqrt{5}}{4}$

Этап 3.5.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5}}{4}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2 - \sqrt{5} + \sqrt{5}}{4}$

Этап 4.2

Добавим $- \sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$ .

$\frac{- 2 + 0}{4}$

Этап 4.3

Добавим $- 2$ и $0$ .

$\frac{- 2}{4}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$